已知函数f（x）=ax^3+bx+1当且仅当x=-1,x=1时取得极值,且极大值比极小值大4

题目

已知函数f（x）=ax^3+bx+1当且仅当x=-1,x=1时取得极值,且极大值比极小值大4
（1）求常数a b的值
（2）求F(X)的极值

答案

f(x)=ax^3+bx+1
f'(x)=3ax^2+b
f'(-1)=f'(1)=0 则3a+b=0 即 b=-3a
f(-1)=-a-b+1 f(1)=a+b+1
|f(1)-f(-1)|=4 得 |a+b|=2
将b=-3a代入绝对值 得|a|=1
(1) 当a=1时 b=-3
当a=-1时 b=3
(2) f''(x)=6ax f''(-1)=-6a f‘’(1)=6a
当a=1时 F(-1)为极大值,且极大值为3;F(1)为极小值,且极小值为-1
当a=-1时 F(1)为极大值,且极大值为3;F(-1)为极小值,且极小值为-1