在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F． 求证：四边形AECF是菱形．

题目

在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F．
求证：四边形AECF是菱形．

答案

证明：∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
又∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠1=∠2
∴在△AOE和△COF中，

∠1＝∠2 AO＝CO ∠AOE＝∠COF＝90°

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
又∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AF=CF，
∴AE=CE=AF=CF，
∴四边形AECF是菱形．

首先根据题意画出图形，再证明△AOE≌△COF，进而得到AE=CF，再根据垂直平分线的性质证明AE=CE=AF=CF，可得四边形AECF是菱形．

本题考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．

考点点评：此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握四条边都相等的四边形是菱形．