如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长于E．求证：BD=2CE．

题目

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长于E．求证：BD=2CE．

答案

证明：延长CE、BA交于F点，如图，
∵BE⊥EC，
∴∠BEF=∠CEB=90°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠F=∠BCF，
∴BF=BC，
∵BE⊥CF，
∴CE=

1

2

CF，
∵△ABC中，AC=AB，∠A=90°，
∴∠CBA=45°，
∴∠F=（180-45）°÷2=67.5°，∠FBE=22.5°，
∴∠ADB=67.5°，
∵在△ADB和△AFC中，

∠F=∠ADB ∠BAC=∠FAC AB=AC

，
∴△ADB≌△AFC（AAS），
∴BD=FC，
∴BD=2CE．

延长CE、BA交于F点，然后证明△BFC是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得CE=

1

2

CF，然后在证明△ADB≌△AFC可得BD=FC，进而证出BD=2CE．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，关键是证明△ADB≌△AFC和CE=

1

2

CF．