已知函数f（x）满足：对任意实数a,b有f（ab）=af(b)+bf(a),且绝对值f(x)

题目

已知函数f（x）满足：对任意实数a,b有f（ab）=af(b)+bf(a),且绝对值f(x)

答案

（1）此步推导一下就能得到：f(x^n)=f(x*(x^n-1))=x*f(x^n-1)+(x^n-1)*f(x)=x*[f(x*(x^n-2))]+(x^n-1)*f(x)
=x*[x*f(x^n-2)+x^n-2*f(x)]+(x^n-1)*f(x)
=x^2*f(x^n-2)+(x^n-1)*f(x)+(x^n-1)*f(x)=x^2*f(x^n-2)+2(x^n-1)*f(x)
上式首项可继续展开推导下去,直至首项变为(x^n-1)*f(x),每次展开推导完毕后后项系数均增加1,直至变为(n-1)(x^n-1)*f(x),再与首项合并成为n*(x^n-1)*f(x),这是用演绎法可推导的结果,不是归纳法；
本例题只是要证明f(x)=0,所选方法其实还是假定了n为正整数；
（2）因lim n→∞ f(x^n)/(n*(x^n-1))=0,即f(x)=0,与之前假定至少有一点x使函数不为零当然是矛盾的了；
（3）当x