在三角形ABC中,M、N分别是AB、BC的重点,MN平行AC,AN、CM交于点O,则S△AOC:S△ABC=

题目

在三角形ABC中,M、N分别是AB、BC的重点,MN平行AC,AN、CM交于点O,则S△AOC:S△ABC=
我知道是1:3为什么呢

答案

连结BO交AC于点D,作OP⊥AC,垂足为P；作BQ⊥AC,垂足为Q；作OS//AC交BQ于点S
则：OP//BQ
所以四边形OQDP是平行四边形
则：OP=SQ
又在△BDQ中,OQ//AC
所以：OD：BD=SQ：BQ=OP：BQ.(*)
因为中线AN、CM交于点O,所以点O是△ABC的重心
则有：OD：BO=1：2,即：OD：BD＝1：3
由(*)式知：OP：BQ＝1：3
因为：S△AOC＝OP*AC/2,S△ABC＝BQ*AC/2,
所以：S△AOC:S△ABC=（OP*AC/2）：（BQ*AC/2）＝OP：BQ＝1：3