设线性方程组AX=有解,其中A是m乘n介矩阵.证明：AX=B有唯一解的充要条件是A转置与A的乘积是正定的.

题目

设线性方程组AX=有解,其中A是m乘n介矩阵.证明：AX=B有唯一解的充要条件是A转置与A的乘积是正定的.

答案

因为 AX=B有解,所以 r(A)=r(A,B)
所以此时
AX=B 有唯一解
r(A)=n
AX=0 只有零解
x≠0时 Ax ≠ 0
x≠0时 (Ax)^T(Ax) > 0 (A是实矩阵)
x≠0时 x^T(A^TA)x >0
A^TA 正定.