化简 sin50度（1+根号3tan10度） tan10度tan20度+tan20度tan60度+tan60度tan10度

题目

化简 sin50度（1+根号3tan10度） tan10度tan20度+tan20度tan60度+tan60度tan10度

答案

首先
sin50度（1+根号3tan10度）
=sin50°*[1+根号3(sin10°/cos10°)]
=sin50°*[(cos10°+根号3sin10°)/cos10°]
=sin50°*[2sin(30°+10°)/cos10°]
=(2sin50°*sin40°)/cos10°
=(2cos40°*sin40°)/cos10°
=sin80°/cos10°
=cos10°/cos10°
=1
所以
原式=tan10度tan20度+tan20度tan60度+tan60度tan10度
而tan30度=√3/3=tan(10+20)=(tan10+tan20)/(1-tan10tan20)
所以(√3-√3tan10tan20)/3=tan10+tan20
tan60=√3
所以原式=tan10tan20+√3tan10+√3tan20
=tan10tan20+√3(tan10+tan20)
=tan10tan20+√3*(√3-√3tan10tan20)/3
=1
所以最后结果等于1