平移二次函数y=1/2 x的平方+4x+1的图像,使它经过A（-3,6）B（-1,0）

题目

平移二次函数y=1/2 x的平方+4x+1的图像,使它经过A（-3,6）B（-1,0）
1、求这个抛物线的解析式
2、点C为此抛物线与x轴的另一个交点,点P为顶点,问在x轴上是否存在点D,使△DCP与△ABC相似?若存在,求出点D坐标；若不存在,请说明理由

答案

1.设平移后的解析式为y=(1/2)x²+bx+c,则:
6=9/2-3b+c;
0=1/2-b+c.
解得:b=-1,c=-3/2.
即平移后的抛物线解析式为:y=(1/2)x²-x-3/2.
2.y=(1/2)x²-x-3/2=(1/2)(x-1)²-2,则顶点P为(1,-2);
抛物线与X轴的另一交点C为(3,0).
作AE垂直X轴于E,则AE=6=OE+OC,即∠ACB=45°;同理可知,∠PCO=45°.
当AC/CB=PC/CD或AC/CB=CD/PC时,△DCP与△ABC相似.
即6√2/4=2√2/CD或6√2/4=CD/2√2.
所以CD=4/3或7,OD=5/3或4,即点D为(5/3,0)或(-4,0).