设函数f（x）=a1+a2X+(a3)^2+…+anx^(n-1),f(x)=1/2,数列满足f（1）=n^2*an(n的平方乘an）,则数列an的通项an=？

题目

设函数f（x）=a1+a2X+(a3)^2+…+anx^(n-1),f(x)=1/2,数列满足f（1）=n^2*an(n的平方乘an）,则数列an的通项an=？
f（0）=a1=1/2，f(1)=n^2*an(n的平方乘an），所以a1+a2+...+an=n^2*an，所以a1+a2+...+An-1（一个数整体，不是an减去1，表示整体的话下文用大写A表示）=（n-1）^2*An-1，n>1，所以（n^2 -1）an=（n-1）^2*An-1。接着这里开始看不懂了：所以an/An-1=n-1/n+1，所以an=an/An-1 x An-1/An-2 x ...xa2/a1 x a1 =n-1/n+1 x n-2/n x n-3/n-1 x ...x 1/3 x 1/2 =1/ n（n+1)

答案

a1+a2+... +an=n^2*an
a1+a2+... +A(n-1)=(n-1)^2*A(n-1)
两式相减得an=n^2*an -(n-1)^2*A(n-1)
移项得n^2*an -an=(n-1)^2*A(n-1)
即(n^2 -1)an=(n-1)^2*A(n-1)
两边约掉(n-1)得
(n+1)an=(n-1)A(n-1)
an/An-1=(n-1)/(n+1)
然后下面是累乘法
a2/a1=1/3
a3/a2=2/4
……
an/An-1=(n-1)/(n+1)
以上全部相乘得an/a1=(1*2)/[(n)(n+1)]
(这里等式右边分子上剩1和2,分母上剩n和n+1,其余的约分掉了)
a1=1/2代入得
an=1/[(n)(n+1)]
你上面的解法是直接将an写成
我上面这些等式的左边部分相乘,再乘以a1