如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，M、N为底边BC的三等分点，连接AM，DN． （1）求证：四边形AMND是平行四边形； （2）连接BD、AC，AM与对角线BD交于点G，DN与对角线AC

题目

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，M、N为底边BC的三等分点，连接AM，DN．

（1）求证：四边形AMND是平行四边形；
（2）连接BD、AC，AM与对角线BD交于点G，DN与对角线AC交于点H，且AC⊥BD．试判断四边形AGHD的形状，并证明你的结论．

答案

（1）证明：∵BC=3AD，BC=3MN，
∴AD=MN，
∵AD∥BC，
∴四边形AMND是平行四边形．
（2）四边形AGHD是菱形．
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠MBG，
∵∠BGM=∠DGA，AD=BM，
∴△BGM≌△DGA（AAS），
∴AG=GM．
同理可得AH=HC，
∴GH是△AMC的中位线，
∴GH∥BC，GH＝

1

2

MC＝MN，
∴GH∥AD，GH=AD，
∴四边形AGHD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形AGHD是菱形．