∫（0,x）f(x-t)dt求导.令u=x-t,du=-dt,原式=-∫（x,0）f(u)du为什么

题目

∫（0,x）f(x-t)dt求导.令u=x-t,du=-dt,原式=-∫（x,0）f(u)du为什么
dt=-du,并且上下限换了,不是应该再添一个负号吗,所以原式=∫(x,o)f(u)du.我这样想,为什么错了.

答案

∫[0,x] f(x-t)dt
令u=x-t,则du=-dt
∫[0,x] f(x-t)dt
=∫[x-0,x-x] f(u)(-du)
=-∫[x,0] f(u)du
实际上只是做了u=x-t的变换,并没有交换上下限.因为原上下限为(0,x)是t的取值范围,令u=x-t后,当t=0时,u=x-0=x；当t=x时,u=x-x=0.即t∈(0,x),则u∈(x,0),所以积分变量换成u后,上下限就自然变成了(x,0),而不是再次交换上下限
当然也可以继续化简下去
=-∫[x,0] f(u)du
=∫[0,x] f(u)du
此时就是交换上下限了,而负号也就没有了
如果直接写成∫[0,x] f(x-t)dt = ∫[0,x] f(u)du其实就是将以上两步合并（也就是跳步骤）,初学者可能就很难理解了,所以最好分步写∫[0,x] f(x-t)dt =(令u=x-t)= -∫[x,0] f(u)du =(交换上下限)= ∫[0,x] f(u)du