已知二次函数f(x)满足:①在x=1时有极值;②图象过点(0,-3)且在该点处的切线与直线2x+y=0平行. (1)求f(x)的解析式; (2)求函数g(x)=f(x+1)的单调递增区间.

已知二次函数f(x)满足:①在x=1时有极值;②图象过点(0,-3)且在该点处的切线与直线2x+y=0平行. (1)求f(x)的解析式; (2)求函数g(x)=f(x+1)的单调递增区间.

题目
已知二次函数f(x)满足:①在x=1时有极值;②图象过点(0,-3)且在该点处的切线与直线2x+y=0平行.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=f(x+1)的单调递增区间.
答案
(1)设f(x)=ax2+bx+c,
则f'(x)=2ax+b.
由题设可得
f′(1)=0
f′(0)=−2
f(0)=−3
2a+b=0
b=−2
c=−3

解得:
a=1
b=−2
c=−3.

所以f(x)=x2-2x-3;
(2)g(x)=f(x+1)=(x+1)2-2(x+1)-3=x2-4.
令g'(x)=2x>0,得x>0.
故g(x)的单调递增区间为(0,+∞).
(1)设f(x)=ax2+bx+c,求导函数,利用极值、导数的几何意义,建立方程组,求出a,b,c,即可求f(x)的解析式;
(2)求出函数g(x)=f(x+1)的解析式,利用导数大于0,可求函数的单调递增区间.

利用导数研究曲线上某点切线方程;函数解析式的求解及常用方法.

本题考查导数知识的运用,考查函数的极值,考查导数的几何意义,考查函数的单调性,正确求导是关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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