在四面体A-BCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,证明AD⊥BC

题目

在四面体A-BCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,证明AD⊥BC
应该不是很难,可是我就是不会.帮帮忙.

答案

过点B作CD的垂线,垂足为M
则平面ABM与线段CD垂直
过点C作BD的垂线,垂足为N
则平面ACN与线段BD垂直
设BM和CN的交点为O,连接DO,并延长到BC,交BC于点P
则DP⊥BC
∵平面ABM和平面ACN的交线是AO
∴AO⊥BD,AO⊥CD
∴AO⊥平面BCD
∴AO⊥BC
∵DP⊥BC
∴BC⊥平面ADP
∵AD∈平面ADP
∴AD⊥BC