利用等比数列求和公式证明:(a+b)(a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+.+b^n)=a^(n+1)-b^(n+1)
题目
利用等比数列求和公式证明:(a+b)(a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+.+b^n)=a^(n+1)-b^(n+1)
答案
题目写错了,应该是(a-b)(a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+……+b^n)=a^(n+1)-b^(n+1)
若a=0
左式=(-b)(0+0+0+……+b^n)=-b^(n+1)=右式
原式成立
a≠0时
左式=a^(n+1)×(1-b/a)(1+b/a+(b/a)^2+……+(b/a)^n)
括号内是1为首项,b/a为公比的等比数列,共n+1项
如果b/a=1 b=a
左式=0 右式=0
原式成立
b/a≠1
1+b/a+(b/a)^2+……+(b/a)^n
=1×(1-(b/a)^(n+1))/(1-b/a)
左式=a^(n+1)×(1-b/a)(1-(b/a)^(n+1))/(1-b/a)
=a^(n+1)×(1-(b/a)^(n+1))
=a^(n+1)-b^(n+1)=右式
原式成立
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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