如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，且AB=2，BC=1，E，F分别为AB，PC中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面PAD； （Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：DE⊥平面PAC．

题目

如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，且AB=

2

，BC=1，E，F分别为AB，PC中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：DE⊥平面PAC．

答案

证明：（Ⅰ）证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连接FM，AM．
因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM=

1

2

CD．
因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，
所以EA∥CD，且EA=

1

2

CD．
所以FM∥EA，且FM=EA．
所以四边形AEFM为平行四边形．
所以EF∥AM．         
又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．
方法二：连接CE并延长交DA的延长线于N，连接PN．
因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，
所以∠BCE=∠ANE，∠CBE=∠NAE．
又AE=EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE=NE．
又F为PC的中点，所以EF∥NP．
又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．        
方法三：取CD的中点Q，连接FQ，EQ．
在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE=DQ，且AE∥DQ．
所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD．
又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD．      
因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．
又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD．
又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ=Q，所以平面EQF∥平面PAD．
因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD． 
（Ⅱ）在底面矩形ABCD中连接DE，
   AB=

2

，BC=1，E为AB中点
  则tan∠ADE=

2

2

，tan∠BAC=

1

2

=

2

2

，
∴∠ADE=∠BAC，
∵∠DEA+∠ADE=90°，
∴∠BAC+∠DEA=90°，
∴DE⊥AC，
∵平面PAC⊥平面ABCDB且交线为AC，
∴DE⊥平面PAC．

（Ⅰ）法一：取线段PD的中点M，连接FM，AM．根据线面平行的判定定理，只需证明EF∥AM；
法二：连接CE并延长交DA的延长线于N，连接PN，根据线面平行的判定定理，只需证明EF∥NP；
法三：取CD的中点Q，连接FQ，EQ．根据面面平行的性质，只需证明平面EQF∥平面PAD；
（Ⅱ）在底面矩形ABCD中连接DE，因为平面PAC⊥平面ABCD，所以要证明DE⊥平面PAC，只需证明DE⊥AC，可证∠BAC+∠DEA=90°，通过计算可得∠ADE=∠BAC，由此可得到结论．

本题考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

考点点评：本题考查线面平行的判定定理以及面面平行、面面垂直的性质定理，考查学生的推理论证能力，考查转化思想的运用．