判别级数∑(n+1)/2^n的敛散性

题目

判别级数∑(n+1)/2^n的敛散性
判别级数∑（n+1）/2^n的敛散性,求和范围1-n
求和范围1到n

答案

　　利用比值判别法可判别该级数收敛.为求和,作幂级数
　　　f(x) = ∑{n>=0}(n+1)x^n,|x|<1,
积分,得
　　　∫[0,x]f(t)dt
　　= ∑{n>=0}(n+1)∫[0,x](t^n)dt
　　= ∑{n>=0}x^(n+1)
　　= 1/(1-x) - 1,|x|<1,
求导,得
　　　f(x) = 1/(1-x)^2,|x|<1.
因此,
　　　∑{n>=0}(n+1)(1/2)^n = f(1/2) = ……