已知f(x)=2^x 求函数F(x)=f(x)+af(2x)的最大值.x属于（-无穷,0]

题目

已知f(x)=2^x 求函数F(x)=f(x)+af(2x)的最大值.x属于（-无穷,0]

答案

F(x)=f(x)+af(2x)
=2^x+a*2^2x
=a(2^x+1/2a)²-1/4a
∵x∈（-∞,0]
∴f(x)=2^x的值域为（0,1]
①当1/2a＜0,即：a＜0时,
x=1取得最大值为：2+4a.
②当0＜1/2a≤1,即：0＜a≤2时,
2^x=1/2a取得最大值为：-1/4a,
③当1/2a＞1,即：a＞2时
x=0取得最大值为：1+2a.
∴函数F(x)=f(x)+af(2x)的最大值：①当a＜0时,2+4a；②当0＜a≤2时,-1/4a； ③当a＞2时,1+2a.