已知函数f（x）=x²-2x+1,g（x）=-bf【f（x+1）】+（3b-1）f（x+1）+2在区间（-∞,-2）上是减函数,且在区间（-2,0）上是增函数,求实数b的值

题目

已知函数f（x）=x²-2x+1,g（x）=-bf【f（x+1）】+（3b-1）f（x+1）+2在区间（-∞,-2）上是减函数,且在区间（-2,0）上是增函数,求实数b的值

答案

因为f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2,所以f(x+1)=(x+1-1)^2=x^2,f[f(x+1)]=f(x^2)=(x^2-1)^2.
于是,g(x)=-bf[f(x+1)]+(3b-1)f(x+1)+2=b(x^2-1)^2+(3b-1)x^2+2=bx^4+(b-1)x^2+b+2
因此,g'(x)=4bx^3+2(b-1)x
因为g(x)在区间(-∞,-2)上是减函数,且在区间(-2,0)上是增函数,所以g'(-2)=0.
于是,4b×(-2)^3+2(b-1)×(-2)=0,解得：b=1/9
此时,g'(x)=4/9×x^3-16/9×x=4/9×x(x+2)(x-2),
由此,不难知道,x