设二次函数f(X)=ax²+bx+c(a,b,c属于R)满足下列条件①当X属于R时,其最小值为0且f(x-1)=f(-x-1)成立②当x属于(0,5)时,x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立
题目
设二次函数f(X)=ax²+bx+c(a,b,c属于R)满足下列条件①当X属于R时,其最小值为0且f(x-1)=f(-x-1)成立②当x属于(0,5)时,x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立,(1)求f(1)的值(2)求F(x)的解析式(3)求最大的实数m(m>1)使得存在t属于R,只要当x属于【1,m】时就有f(x+1)《x成立
答案
(1)
因为1属于(0,5),因此1<=f(1)<=2*|1-1|+1=1
=>1<=f(1)<=1
=>f(1)=1
(2)
f(1)=1=>a(1+1)^2=1
=>a=1/4
=>f(x)=(x+1)^2/4
(3)
又(x+1)^2/4-x=(x-1)^2/4>=0
因此(x+1)^2/4>=x
显然,x属于[1,m]时,是单调递增区间,要使x属于[1,m]时,都有f(x+t)<=x成立,那么t必小于0
因此题目要求实际就相当于把f(x)的曲线右平移|t|,使得(1,f(1))点刚好在曲线y=x上,m实际就是y=x和平移后的f(x)曲线的另一交点的x值.这样f(x+t)的曲线在【1,m】区间都在y=x直线下方,满足题目要求.
令:f(x+t)=(x+t+1)^2/4=x
=>(x+t+1)^2/4=x
=>x^2+2(t-1)x+(t+1)^2=0 (a)
又曲线通过(1,1)点,因此1是它的一个解
=》1+2(t-1)+(t+1)^2=0
=>t=-4
将t=-4代入(a)
=>x^2-10x+9=0
=>x1=1,x2=9
因此m=x2=9
因此这个最大的实数m的值为9
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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