方程ax2+ay2-4（a-1）x+4y=0表示圆，求a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程．

题目

方程ax²+ay²-4（a-1）x+4y=0表示圆，求a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程．

答案

（1）∵a≠0时，方程为[x-

2(a−1)

a

]²+（y+

2

a

）²=

4(a2−2a+2)

a2

，
由于a²-2a+2=（a-1）²+1＞0恒成立，
∴a≠0且a∈R时方程表示圆．
（2）∵r²=4•

a2−2a+2

a2

=4(

2

a2

−

2

a

+1)=4[2（

1

a

-

1

2

）²+

1

2

]，
∴a=2时，r_min²=2．
此时圆的方程为（x-1）²+（y+1）²=2．