已知n为正整数,且9n²+5n+26的值是两个相邻的正整数之积.求n

题目

已知n为正整数,且9n²+5n+26的值是两个相邻的正整数之积.求n

答案

设 9n^2+5n+26=m(m+1)=m^2+m ,
则 4(9n^2+5n+26)+1=4m^2+4m+1=(2m+1)^2 ,
即 (2m+1)^2=36n^2+20n+105 .
1）由 36n^2+20n+105=(6n+3)^2-16n+96 ,
令 -16n+96=0 得 n=6 ,
当 n=6 时,9n^2+5n+26=380=19*20 ,满足条件；
2）由 36n^2+20n+105=(6n+5)^2-40n+80 ,
令 -40n+80=0 得 n=2 ,
当 n=2 时,9n^2+5n+26=72=8*9 ,满足条件；
综上,所求 n 的值为 2 或 6