已知向量OA=（2根2,0）,O是坐标原点,动点M满足|向量OM+向量OA|+|向量OM-向量OA|=6 满意的话会追加悬赏!

题目

已知向量OA=（2根2,0）,O是坐标原点,动点M满足|向量OM+向量OA|+|向量OM-向量OA|=6 满意的话会追加悬赏!
1. 求点M的轨迹C的方程
2. 是否存在过点D（0,2）的直线l与轨迹C交于P,Q两点,且以PQ为直径的圆过原点?若存在,求出直线l的方程
谢谢啦!步骤要清晰,多了也别少!O(∩_∩)O
有效期是一天，一天过后，将不采纳，谢谢！！

答案

1.设M(x,y),由|向量OM+向量OA|+|向量OM-向量OA|=6,得
|（x+2√2,y)|+|(x-2√2,y)|=6,
∴a=3,c=2√2,b^2=a^2-c^2=1.
∴M的轨迹C的方程为x^2/9+y^2=1.
2.设直线l:y=kx+2,①
代入C的方程得（1+9k^2)x^2+36kx+27=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
x1+x2=-36k/(1+9k^2),x1x2=27/(1+9k^2).
由①,y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k^2x1x2+2k(x1+x2)+4
=-45k^2/(1+9k^2)+4,
以PQ为直径的圆过原点,
OP⊥OQ,
x1x2+y1y2=0,
27-45k^2+4(1+9k^2)=0,
k^2=31/9,k=土√31/3,
l:y=土√31/3*x+2.