已知二次函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=0,f(1)=1,若f(x)在区间[m,n]上的值域是[m,n],则m=_,n=_.

已知二次函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=0,f(1)=1,若f(x)在区间[m,n]上的值域是[m,n],则m=_,n=_.

题目
已知二次函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=0,f(1)=1,若f(x)在区间[m,n]上的值域是[m,n],则m=______,n=______.
答案
由f(1+x)=f(1-x)可知二次函数函数f(x)的对称轴为x=1,
又因f(0)=0,f(1)=1则f(x)=-(x-1)2+1≤1,
∴n≤1
∴f(x)在区间[m,n]上单调递增即
f(m)=m
f(n)=n
m2+2m=m
n2+2n=n

而m<n,所以m=0,n=1;
故答案为0,1.
二次函数f(x)可以利用待定系数法求出函数解析式,注意到函数自身的最大值是1,能发现f(x)在区间[m,n]上单调递增,根据单调性建立等量关系.

函数最值的应用.

本题考查了函数解析式的求解,以及利用单调性求解函数的值域

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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