如图所示,在直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD∥BC,E为AB上一点,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系?

如图所示,在直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD∥BC,E为AB上一点,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系?

题目
如图所示,在直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD∥BC,E为AB上一点,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系?
答案
以AB为直径的圆与边CD相切.
理由如下:过点E作EF⊥CD于点F.
∵DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,
∴∠ADE=∠EDF,∠ECB=∠ECF,
在△ADE和△FDE中,
∠A=∠DFE
∠ADE=∠FDE
DE=DE

∴△ADE≌△FDE.
同理可得:△EFC≌△EBC,
∴AE=EF=EB,
则以AB为直径的圆的圆心为点E,
∵EF=EA=EB=
1
2
AB,
∴以AB为直径的圆与边CD相切.
过点E作EF⊥CD于点F,则可证明△ADE≌△FDE,△EFC≌△EBC,从而可得AE=EF=EB,这样即可判断出答案.

直线与圆的位置关系.

本题考查了直线与圆的位置关系,解答本题的关键是证明△ADE≌△FDE,△EFC≌△EBC,得出AE=EF=EB,难度一般.

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