点E、F分别是正方形ABCD上AD和DC的中点,BE和CF交于点P,求证AP=AB.

题目

点E、F分别是正方形ABCD上AD和DC的中点,BE和CF交于点P,求证AP=AB.
要求用向量求解.

答案

证明：如图,延长AB、CF相交于点Q
∵BC=CD,∠BCe=∠CDF=90°,CE=DF=1/2BC
∴△BCE≌△CDF
∴∠BEC=∠CFD∵∠FCD+∠CFD=90°
∴∠FCD+∠BEC=90°
∴BE⊥CF
又∵AF‖=1/2BC
∴点A为BQ中点
在直角三角形中,斜边的中点到三个顶点的距离都相等.即有
AQ=AB=AP
∴AB=AP