过抛物线y^2=4x的焦点F且方向向量为d=（1,2）的直线l交该抛物线于A、B两点,求向量OA*OB的值,

题目

过抛物线y^2=4x的焦点F且方向向量为d=（1,2）的直线l交该抛物线于A、B两点,求向量OA*OB的值,

答案

如果知道A(xa,ya)、B(xb,yb)坐标,那么两向量点积就很容易求出；
过抛物线焦点 F(1,0) 且方向向量是(1,2)（即直线斜率是2/1=1）的直线方程为：y=2(x-1)；
代入抛物线方程：[2(x-1)]²=4x,两根之积 xa*xb=3；
∴ |ya*yb|=√(ya²*yb²)=√[4xa*4xb]=4√(xa*xb)=4√3；
抛物线关于x 轴对称,直线与x 轴相交,交点A、B位于x 轴不同侧,∴ ya*yb=-4√3；
向量 OA•OB=xa*xb+ya*yb=3-4√3；