抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(-1,0)和x轴正半轴上的点B,且OC2=OA•OB (

题目

抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(-1,0)和x轴正半轴上的点B,且OC2=OA•OB (
抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(-1,0)和x轴正半轴上的点B,且OC2=OA•OB
(1)求抛物线的解析式
(2)设点D在抛物线的对称轴上且在x轴上方,当角ACO等于角CDA时,求点D的坐标

答案

点C不确定.假设点C为抛物线与y轴的交点,显然C坐标为(0,2)
易知抛物线开口向下,即a0
则BC所在直线的斜率为k2=-2/m
因AC⊥BC
则k1k2=-1
即2*(-2/m)=-1
则m=4
即B的坐标为(4,0)
由中点坐标公式易知抛物线对称轴x=3/2
即-b/2a=3/2（I）
因A在抛物线上
则a-b+2=0（II）
由（I）（II）得a=-1/2,b=3/2
所以抛物线解析式为y=-1/2x^2+3/2x+2
(2)因∠ACO=∠CDA
而RT⊿AOC∽RT⊿COB
有∠ACO=∠ABC
则∠CDA=∠ABC
令AD交BC于E
显然⊿AEB∽⊿CED
即A、B、D、C四点共圆
于是∠ACB=∠ADB（共弦圆周角相等）
而由（1）知AC⊥BC
则AD⊥BD
因D在抛物线的对称轴上
令点D的坐标为(3/2,n)
则AD所在直线的斜率为k3=2n/5
且BD所在直线的斜率为k4=-2n/5
因AD⊥BD
则k3k4=-1
即(2n/5)*(-2n/5)=-1
解得n=±5/2
因D在在x轴上方
则点D的坐标为(3/2,5/2)