已知三角形ABC的对边为a,b,c,向量m=(2cosC2,-sin(A+B)),向量n=(cosC2,sin(A+B)),向量m垂直与向量n

题目

已知三角形ABC的对边为a,b,c,向量m=(2cosC2,-sin(A+B)),向量n=(cosC2,sin(A+B)),向量m垂直与向量n
(1)求角C
（2）若a^2=b^2+(12)c^2,试求sin(A-B)的值

答案

(1)
因为 向量m垂直与向量n
所以 2cosC2 * cosC2 - (sin(A+B))^2 = 0
所以 2(cosC2)^2 - (sin(A+B))^2 = 0
所以 1+cosC - (sinC)^2 = 0
所以 1+cosC - (1-(cosC)^2) = 0
所以 cosC * (cosC+1) = 0
所以 cosC=0或cosC=-1
所以 C=90°或0°(舍去)
所以 C=90°
(2)
因为C=90°
所以a^2+b^2=c^2
又因为a^2=b^2+(12)c^2
所以a^2=c^2-a^2+(12)c^2
所以a^2=(3/4)c^2,b^2=(1/4)c^2
所以a=(根号3 /2)c ,b=(1/2)c
所以sinA=根号3 /2 ,sinB=1/2
所以sin(A-B)=sinA*cosB-cosA*sinB=(sinA)^2-(sinB)^2
=1/2