可分离变量的微分方程 两边怎么能对不同变量进行积分呢

题目

可分离变量的微分方程 两边怎么能对不同变量进行积分呢
比如：dy/dx =3xdy 求法是：1/ydy=3xdx dx可以乘过去?
∫1/ydy=∫3xdx+c 怎么可以积分的?

答案

微分方程当中x,y都可以认为是函数,例如x(t),y(t),dx就是x对t求导,dy就是y对t求导,当然可以乘过去.
3xx'=y'/y两边同时对t积分,∫3xx'dt=∫3xdx.∫y'/ydt=∫1/ydy.所以两边可以同时取积分,也自然可以移项或者通分.
因为非数学或者微分相关的工科专业不涉及柯西问题,所以并不写明x,y都是t的函数,但实际上x,y本身就都是t的函数,所有的运算都是满足的,例如dy/dx=y'(t)/x'(t)=y'(x).这一点在高数学到高阶微分方程或者微分方程组的时候有少量体现.