如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC=2 （1）求证：平面AEF⊥平面PBC；（2）求二面角P-BC-A的大小；（3）求三棱锥P-AEF的体积．

题目

如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC=2

（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；
（2）求二面角P-BC-A的大小；
（3）求三棱锥P-AEF的体积．

答案

（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC，
∵AE⊥PB，PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC，
∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC；
（2）∵BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，
结合AB⊥BC，可得∠PBA是二面角P-BC-A的平面角，
∵Rt△PAB中，PA=AB=2，∴∠PBA=45°，
由此可得二面角P-BC-A的大小为45°；
（3）由（1）AE⊥平面PBC
又∵AF⊥PC
∴EF⊥PC（三垂线定理逆定理）
∴△PEF∽△PCB
∴=

S△PEF

S△PBC

=

PE2

PC2

=

1

6

，∴S_△PEF=

1

6

S_△PBC=

2

3

，
∴V_P-AEF=V_A-PEF=

1

3

×

2

×

2

3

=

2

9

．

（1）由线面垂直的定义，根据PA⊥平面ABC得PA⊥BC，结合AB⊥BC得BC⊥平面PAB，从而得出AE⊥BC，结合AE⊥PB证出AE⊥平面PBC，最后根据面面垂直判定定理，即可证出平面AEF⊥平面PBC；
（2）由（1）的结论得BC⊥AB且BC⊥PB，所以∠PBA是二面角P-BC-A的平面角，Rt△PAB中算出∠PBA=45°，即可得到二面角P-BC-A的大小；
（3）由PA⊥平面ABC，得PA是三棱锥P-AEF的高，算出△ABC的面积再利用锥体的体积公式加以计算，即可得到三棱锥P-AEF的体积．

本题考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．

考点点评：本题在特殊三棱锥中证明面面垂直，并求二面角的大小和锥体的体积．着重考查了空间垂直位置关系的判断与证明和锥体的体积计算等知识，属于中档题．