如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB．

题目

如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB．

答案

证明：作EF⊥AC于F，
∵EA=EC，
∴AF=FC=

1

2

AC，
∵AC=2AB，
∴AF=AB，
∵AD平分∠BAC交BC于D，
∴∠BAD=∠CAD，
在△BAE和△FAE中

AB＝AF ∠BAD＝∠CAD AE＝AE

，
∴△ABE≌△AFE（SAS），
∴∠ABE=∠AFE=90°．
∴EB⊥AB．

作EF⊥AC于F，再根据等腰三角形的性质可得AF=

1

2

AC，再证明△ABE≌△AFE可得∠ABE=∠AFE=90°．

本题考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

考点点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．证明三角形全等是证明角相等和线段相等的重要手段．