数列An,A1为2,An+1为3An+3的(n+1)次方+2的n次方,求通项公式和前n项和

题目

数列An,A1为2,An+1为3An+3的(n+1)次方+2的n次方,求通项公式和前n项和

答案

a2=3a1+3^2+2^1
a3=3a2+3^3+2^2
……
a(n-1)=3a(n-2)+3^(n-1)+2^(n-2)
an=3a(n-1)+3^n+2^(n-1)
上式各乘3^(n-2),3^(n-3),…3,1
然后相加,得
an=a1×3^(n-1)+(n-1)3^n+[2×3^(n-2)+2^2×3^(n-3)+…+2^(n-2)×3+2(n-1)]=2×3^(n-1)+(n-1)3^n+2×3^(n-1)×[1-(2/3)^(n-1)]
(最后一项是等比求和)
然后化简得
an=(n+1/3)×3^n-2^n
然后分组求和,
令bn=(n+1/3)×3^n,
其前n项和为Tn
Tn=(4/3)×3+(7/3)×3^2+…+(n+1/3)×3^n
3Tn=(4/3)×3^2+(7/3)×3^3+…+(n-2/3)×3^n+(n+1/3)×3^(n+1)
然后错项相减,化简得
Tn=1/4+[(6n-1)/12]×3^(n+1)
再令Cn=2^n,
其前n项和为Kn
Kn=2^(n+1)-2
所以Sn=Tn-Kn=9/4+[(6n-1)/12]×3^(n+1)-2^(n+1)