对任意实数a.b函数f(x)满足f(a+b)+f(a-b)=2f(a)*f(b),且f(0)不等于0,求证f(x)是偶函数

题目

对任意实数a.b函数f(x)满足f(a+b)+f(a-b)=2f(a)*f(b),且f(0)不等于0,求证f(x)是偶函数

答案

证明：由已知f(a+b)+f(a－b)=2f(a)•f(b),
令a=b=0,得f(0)+f(0)=2[f(0)]^2
∵f(0)≠0得f(0)=1.
又令a=0,得f(b)+f(－b)=2f(0)f(b),
∴f(b)=f(－b) 即f(x)=f(－x),
∴函数f(x)为偶函数.