已知向量a=（cos3x/2,sin3x/2）,b=(cosx/2,-sinx/2),且x∈[0,π/2]

题目

已知向量a=（cos3x/2,sin3x/2）,b=(cosx/2,-sinx/2),且x∈[0,π/2]
(1)求向量a·b及la+bl
(2)若f(x)=a·b-2λla+bl的最小值是负二分之三,求实数λ的值

答案

(1)
a.b
=(cos3x/2,sin3x/2).(cosx/2,-sinx/2)
=(cos3x/2)(cosx/2)-(sin3x/2)(sinx/2)
= cos2x
a+b= (cos3x/2+cosx/2,sin3x/2-sinx/2)
|a+b|^2
=(cos3x/2+cosx/2)^2+(sin3x/2-sinx/2)^2
=2+2cos3x/2cosx/2-2sin3x/2sinx/2
=2+cos2x
|a+b|=)√(2+cos2x)
(2)
f(x)
= a·b-2λla+bl
= cos2x - 2λ√(2+cos2x)
f'(x)
= -2sin2x +2λsin2x/√(2+cos2x)=0
-2sin2x(1-λ/√(2+cos2x))=0
x=0 ( min)
f(0) = 1- 2λ√3 = -2/3
λ = 5√3/6