在数列{an}中,a1=3/5,a2=31/100且数列{an+1−1/10an}是公比为1/2的等比数列,数列{lg(an+1−1/2an)}是公差为-1的等差数列,求an.
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在数列{an}中,a1=3/5,a2=31/100且数列{an+1−1/10an}是公比为1/2的等比数列,数列{lg(an+1−1/2an)}是公差为-1的等差数列,求an.
题目
在数列{a
n
}中,
a
答案
∵
a
1
=
3
5
,
a
2
=
31
100
∴
a
2
−
1
10
a
1
=
1
4
,
a
2
−
1
2
a
1
=
1
100
∵数列
{
a
n+1
−
1
10
a
n
}
是公比为
1
2
的等比数列,首项为
a
2
−
1
10
a
1
=
1
4
∴
a
n+1
−
1
10
a
n
=
1
4
(
1
2
)
n−1
=
(
1
2
)
n+1
…(1)…(6分)
又
{lg(
a
n+1
−
1
2
a
n
)}
是公差为-1的等差数列,首项为
lg(
a
2
−
1
2
a
1
)=−2
∴
lg(
a
n+1
−
1
2
a
n
)=-2+(n-1)(-1)=-n-1
即
a
n+1
−
1
2
a
n
=10
-n-1
…(2)…(12分)
由(1)(2)得,
a
n
=
5
2
(
1
2
n+1
−
1
10
n+1
)
…(14分)
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