设随机变量X的密度函数f(x)是连续函数,其分布函数为F(x),则2f(x)F(x)是一个概率密度函数吗?求证明

题目

设随机变量X的密度函数f(x)是连续函数,其分布函数为F(x),则2f(x)F(x)是一个概率密度函数吗?求证明

答案

设新的分布函数G(x)
G(x)=∫(-无穷,x)2f(t)F(t)dt =∫2F(t)dF(t)=[F(x)]^2 连续型不成问题,
limG（x）=lim[F(x)]^2 =1 (x->正无穷)
limG（x）=lim[F(x)]^2 =0 (x->负无穷)
所以G（X）满足分布函数,它对应的密度函数就是2f(x)F(x)