已知圆C和y轴相切,圆心在直线x－3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为2倍根号7求圆C的方程

题目

已知圆C和y轴相切,圆心在直线x－3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为2倍根号7求圆C的方程

答案

方法一：根据题意设圆心为(a,a/3) 圆与y轴相切 故r=a 故圆的标准方程为(x-a)2+(y-1/3)2=a2 设与y=x相交于点A.B两点,代入圆的方程有：18x2-24ax+a2=0 x1+x2=4a/3,x1x2=a2/18 y1-y2=x1-x2 IABI=√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]=√2*√(x1-x2)2=√2*√[(x1+x2)2-4x1x2] =√2*√(16a2/9-2a2/9)=√2*√(14a2/9)=√28IaI/3=2√7 a=3或a=-3 故圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9 方法二：根据条件设圆心为(a,a/3),则半径r=a 设直线y=x与圆交于点A.B 则圆心到直线y的距离d=Ia-a/3I/√2=√2IaI/3 而d^2+(AB/2)^2=r^2=a^2 即2a^2/9+7=a^2 a=±3 故圆的方程为 (x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9