求解一道常系数线性齐次方程的高数题
题目
求解一道常系数线性齐次方程的高数题
求以y1=x^2,y2=(e^x)(cos[(√2)x])为特解的最低阶常系数线性齐次方程.
这道题是由特解来推方程,小弟想了很久,没思路,
答案
1.由y1=x^2,其对应的通解形式为
y1=e^(r*x)*[C1+C2*x+C3*x^2+...+Ck*x^(k-1)] (k重实根r,k≥3)
要阶数最低,取k=3,即y1=e^(r*x)*(C1+C2*x+C3*x^2) (3重实根)
本题中r=0,对应的特征方程为r^3=0
2.由y2=(e^x)(cos[(√2)x]),其对应的通解形式为
y2=e^(a*x)*[(C1+C2*x+C3*x^2+...+Ck*x^(k-1))*cos(b*x)+(D1+D2*x+D3*x^2+...+Dk*x^(k-1))*sin(b*x)] (k重复根a±ib,k≥1)
要阶数最低,取k=1,即y1=e^(a*x)*(C1*cos(b*x)+D1*sin(b*x)) (1重复根)
本题中a=1,b=√2,对应的特征方程为r^2-2*r+3=0
因此总的特征方程为r^3(r^2-2*r+3)=0
即r^5-2*r^4+3*r^3=0
对应的常系数线性齐次方程为y^(5)-2*y^(4)+3*y'''=0 (最低5阶)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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