把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铜球熔制成一个较大的铜球,再把该球削成一个边长最大的正方体,求这个正方

题目

把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铜球熔制成一个较大的铜球,再把该球削成一个边长最大的正方体,求这个正方

答案

熔成一个大的铜球,总的体积不变,即三个小球的体积和=大球体积
削成最大的正方体,那么必定是圆的内接正方体,即正方体的8个顶点都在圆上,且正方体的对角线=圆的直径.根据这些关系即可求得.
圆的体积=4πR³/3 （R为圆的半径,π=3.14）
正方体的体积=a³ （a为正方体的边长）
正方体对角线b²=a²+a²+a²
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设大铜球的半径为R,正方体的边长为a,对角线为b.
依题意有
4πR³/3=4π（6/2）³/3+4π（8/2）³/3+4π（10/2）³/3
R³=27+64+125
即R³=216 解得R=6
当削成最大正方体时,正方体为圆的内接正方体
此时有 b=2R=2×6=12
又a²+a²+a²=b² （勾股定理）
所以a=b/√3≈7
所以正方体的体积=a³=343 （cm³）