已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是多少?

题目

已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是多少?
下面是解题过程：
由题|AF1|=√3|F1F2|/3,所以b^2/a=2√3c/3 即 a^2-b^2=2√3ac/3
所以 c^2+2√3ac/3-a^2=0,
因此 e^2+2√3e/3 - 1=0,
故e=√3/3
这里为什么|AF1|=b^2/a呢?

答案

AF1是纵坐标,因为垂直,所以与焦点坐标相同,AB可在两边任意一边,代入横坐标就可算出