在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,BC=2,CA=√5,（1）求证：BC⊥面ACC1A1；（2）当AA1为何值时,二面角A-BC-A1为60°?

题目

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,BC=2,CA=√5,（1）求证：BC⊥面ACC1A1；（2）当AA1为何值时,二面角A-BC-A1为60°?

答案

① 由已知条件AB=3,BC=2,CA=√5
可得BC平方+CA平方=AB平方,即三角形ABC是以BC,AC为两直角边,AB为斜边的直角三角形,
所以BC⊥AC（条件一）.
再由已知三棱柱是直三棱柱,所以A1C1⊥BC,即BC⊥A1C1(条件二）.
由以上两个条件,垂直于面内两条线的直线垂直于这个面,所以BC⊥面ACC1A1.
② 连结CA1,
由一问可知BC垂直于面ACC1A1中的任意一条线,所以BC⊥CA1,BC⊥AC,
所以二面角A-BC-A1即为平面角ACA1
所以∠ACA1=60°
在直角三角形ACA1中,AC=√5,∠ACA1=60°,∠CA1A=30°
30°角所对的直角边是斜边的一半
所以CA1=2√5
由勾股定理可得,AA1=√15