1、三角形ABC中,2sin^2((A+B)/2)+cos2C=1,外接圆半径R=2 （1）求C （2）求面积最大值

题目

1、三角形ABC中,2sin^2((A+B)/2)+cos2C=1,外接圆半径R=2 （1）求C （2）求面积最大值

答案

(1) 因为2sin²[(A+B)/2]=2·[1-cos(A+B)]/2=1-cos(A+B)=1+cosC,
cos2C=2cos²C-1
所以 1+cosC+2cos²C-1=1
所以 cosC=-1(舍去) 或 cosC=1/2,
所以 C=60º
(2)由(1)知,sinC=√3/2
由正弦定理,c/sinC=2R=4,
所以 c=2√3
由余弦定理,c²=a²+b²-2abcosC
得 12=a²+b²-ab
由基本不等式 ab+12=a²+b²≥2ab
所以 ab≤12
三角形ABC面积 S=½ ab·sinC≤½·12·sin60º =3√3
当a=b(即三角形ABC为等边三角形)时,三角形ABC面积最大为3√3.