已知G为三角形ABC的重心,过点G做直线PQ与边CA,CB分别相交与P,Q,CP向量=mCA向量,CQ向量=nCB向量,

题目

已知G为三角形ABC的重心,过点G做直线PQ与边CA,CB分别相交与P,Q,CP向量=mCA向量,CQ向量=nCB向量,
求证:1/m+1/n=3

答案

∵P,G,Q三点共线
∴存在x,y∈R使得,
CG=xCP+yCQ,且x+y=1 ①
∵G是三角形ABC的重心
延长CG交AB于D,那么D为AB中点
∴CG=2/3CD,而CD=(CA+CB)/2
∴CG=(CA+CB)/3 ②
∵CP向量=mCA向量,CQ向量=nCB向量,
∴CA=1/mCP,CB=1/nCQ 代入②
∴CG=(1/mCP+1/nCQ)/3
=1/(3m)CP+1/(3n)CQ
与①比较
x=1/(3m),y=1/(3n)
∵x+y=1
∴1/(3m)+1/(3n)=1
∴1/m+1/n=3