过点P（5,0）的直线l与圆x²+y²=16交于A B两点 求弦AB的中点M的轨迹

题目

过点P（5,0）的直线l与圆x²+y²=16交于A B两点 求弦AB的中点M的轨迹

答案

设直线倾角是θ,A、B中点M(x,y)
则Q(5+tcosθ,tsinθ)是直线上动点
A(5+t1.cosθ,t1.sinθ),B(5+t2.cosθ,t2.sinθ)
当Q在圆上时：
(5+tcosθ)^2+(tsinθ)^2=16
t^2+(10cosθ)t+9=0
(t1+t2)/2=-5cosθ
得M(x,y)中的
x=5+(-5cosθ)cosθ,=5/2-(5/2)cos2θ
y=(-5cosθ)sinθ=(-5/2)sin2θ
(x-5/2)^2+y^2=25/4
所以M的轨迹方程是 (x-5/2)^2+y^2=25/4 (0≤x