已知函数f（x）=[x2+（2a-2）x+2-2a-b]ex（a，b∈R）在区间[-1，3]上是减函数，则a+b的最小值是（　　） A.4 B.2 C.32 D.23

题目

已知函数f（x）=[x²+（2a-2）x+2-2a-b]e^x（a，b∈R）在区间[-1，3]上是减函数，则a+b的最小值是（　　）
A. 4
B. 2
C.

3

2

D.

2

3

答案

∵f（x）=[x²+（2a-2）x+2-2a-b]e^x（a，b∈R）在区间[-1，3]上是减函数，
∴f′（x）=e^x（x²+2ax-b）＜0，
∴x²+2ax-b＜0，令g（x）=x²+2ax-b，
∵f（x）=[x²+（2a-2）x+2-2a-b]e^x（a，b∈R）在区间[-1，3]上是减函数，
∴

g(−1)≤0 g(3)≤0

，
即

2a+b≥1 b−6a≥9

，①
在坐标平面内作直线 1-2a-b=0、9+6a-b=0，它们交于 A（-1，3），满足①（a，b）是 A 点上方区域，
令a+b=t，则 b=-a+t，t是直线在b轴上的截距，
平移直线，可以看出，当直线过A时，t最小为3-1=2．
故a+b的最小值是2．
故选：B．

根据导数的运算法则吗，先求导，再根据区间[-1，3]上是减函数，得到即

2a+b≥1 b−6a≥9

，再利用线性区域，求的最值．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查了导数与函数的单调性的问题，以及区域线性规划，属于中档题．