设A为三阶方阵,|A|=1/2则|(2A)^(-1)-(2A)*|求过程,答案是-27/4

题目

设A为三阶方阵,|A|=1/2则|(2A)^(-1)-(2A)*|求过程,答案是-27/4
我怎么算都是-1/4……

答案

对可逆矩阵B,B* = |B|·B^(-1).
因此(2A)* = |2A|·(2A)^(-1) = 2³|A|·(2A)^(-1) = 4(2A)^(-1).
于是|(2A)^(-1)-(2A)*| = |-3(2A)^(-1)| = (-3)³|(2A)^(-1)|
= -27/|2A|
= -27/(2³|A|)
= -27/4.
猜测你是犯了(2A)* = 2(A*)的错误.
实际上,对n阶方阵,应该成立的是(kA)* = k^(n-1)·A*.
因为A*的元素是A的n-1阶子式.