设o为坐标原点,如果直线y=k(x-1)交曲线Cy^2=4x与A,B两点,是否存在实数K,使得向量OA*向量OB=0?

题目

设o为坐标原点,如果直线y=k(x-1)交曲线Cy^2=4x与A,B两点,是否存在实数K,使得向量OA*向量OB=0?
若存在,求出k的值,若不存在,说明理由

答案

不存在,证明如下：
设A(x1,x2),B(x2,y2).
由题意,(x1,y1),(x2,y2)是二元一次方程组 y^2=4x y=k(x-1)的两组解
带入消去"y",得到k^2*x^2-(2k^2+4)x+k^2=0
判别式Δ=（2k^2+4）^2-4k^2=16(k^2+1)>0
根据韦达定理,x1*x2=1,x1+x2=2+4/(k^2)
∴y1*y2=k^2(x1-1)(x2-1)=k^2(x1*x2-x1-x2+1)=-4
向量OA·向量OB=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=1-4=-3
综上,无论k取何值,都不能使 向量OA·向量OB=0,所以,不存在 证毕