球面上有三个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的六分之一,经过这三点的小圆的周长为4π,求这个

题目

球面上有三个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的六分之一,经过这三点的小圆的周长为4π,求这个
的表面积?有这样一个解题过程,连接球面上的三个点与球心,可以得到一个三棱锥,以球心为顶点的三个面都是等腰三角形,腰为球的半径.因为“任意两点的球面距离等于大圆周长的1/6”,所以任意两个腰的夹角为2π×1／6＝π/3=60°所以这个三棱锥为正三棱锥.又因为“经过这三个点的小圆周长为4π”,所以这三点构成的圆的半径为2,所以这三点构成的三角形的边长为“2倍根号3”.因此,球的半径就为“2倍根号3”
问题是为什么任意两个腰的夹角为2π×1／6＝π/3=60°.大于六分之一,为什么角度算出来是等于呢?

答案

连接球面上的三个点与球心,可以得到一个三棱锥,以球心为顶点的三个面都是等腰三角形,腰为球的半径.因为“任意两点的球面距离等于大圆周长的1/6”,所以任意两个腰的夹角为2π×1／6＝π/3=60°所以这个三棱锥为正三棱锥.又因为“经过这三个点的小圆周长为4π”,所以这三点构成的圆的半径为2,所以这三点构成的三角形的边长为“2倍根号3”.因此,球的半径就为“2倍根号3”
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