二次函数f(x)满足f(x+2)=f(-x+2),又f(0)=3,f(2)=1,若在[0,m]上有最大值3,最小值1,则m的取值范围是(  ) A.(0,+∞) B.[2,+∞) C.(0,2] D.

二次函数f(x)满足f(x+2)=f(-x+2),又f(0)=3,f(2)=1,若在[0,m]上有最大值3,最小值1,则m的取值范围是(  ) A.(0,+∞) B.[2,+∞) C.(0,2] D.

题目
二次函数f(x)满足f(x+2)=f(-x+2),又f(0)=3,f(2)=1,若在[0,m]上有最大值3,最小值1,则m的取值范围是(  )
A. (0,+∞)
B. [2,+∞)
C. (0,2]
D. [2,4]
答案
∵二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),
∴其对称轴是x=2,
可设其方程为y=a(x-2)2+b
∵f(0)=3,f(2)=1
4a+b=3
b=1

解得a=
1
2
,b=1
函数f(x)的解析式是y=
1
2
(x-2)2+1
∵f(0)=3,f(2)=1,f(x)在[0,m]上的最大值为3,最小值为1,
∴m≥2
又f(4)=3,由二次函数的性质知,m≤4
综上得2≤m≤4
故选D
由题意,二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),对称轴是x=2,可设二次函数为y=a(x-2)2+b,又f(0)=3,f(2)=1,由此得到关于两个参数a,b的方程组,解出a,b的值,求得二次函数的解析式;若f(x)在[0,m]上的最大值为3,最小值为1,求出1,3对应的自变量,再由二次函数的性质判断出参数的取值范围

二次函数在闭区间上的最值.

本题考查二次函数的在闭区间上的最值,解题的关键是用待定系数法求出函数的解析式,及熟练掌握二次函数的性质,判断出参数的取值范围,本题是二次函数考查的典型题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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