Ai（i=1,2） 在1次试验中取得成功的概率同为p,另Ni为Ai第一次取得成功进行的试验次数.

题目

Ai（i=1,2） 在1次试验中取得成功的概率同为p,另Ni为Ai第一次取得成功进行的试验次数.
P（Ni=n)=p(1-p)^n-1
回答下列问题
1.N1的期望
2.N1的方差
3.当A1和A2到成功时进行的试验次数相同时,设为M=N1=N2,求M的期望
4.S=N1+N2 求P（S=k)
5.求S的期望
6.A1比A2先成功的概率是多少

答案

先写下第一,二,六问的
1.N1的期望,E(Ni)=1/p （i=1,2)
P(Ai=n)=p(1-p)^(n-1)
(n=1到∞)∑p(1-p)^(n-1)=1
(n=1到∞)∑(1-p)^(n-1)=1/p
两边对p求导,得：
-(n=1到∞)∑(n-1)(1-p)^(n-2)=-1/p²
(n=1到∞)∑(n-1)(1-p)^(n-2)=1/p²
(n=1到∞)∑(n-1)(1-p)^(n-1)=(1-p)/p²
[(n=1到∞)∑n(1-p)^(n-1)]-(n=1到∞)∑(1-p)^(n-1)=(1-p)/p²
[(n=1到∞)∑np(1-p)^(n-1)]-(n=1到∞)∑p(1-p)^(n-1)=(1-p)/p
[(n=1到∞)∑np(1-p)^(n-1)]-1=(1-p)/p ----- (1)
E(Ni)-1=(1-p)/p
E(Ni)=1/p
2.N1的方差,D(Ni)=(1-p)/p² （i=1,2)
D(Ni)=E((Ni)²)-E²(Ni)
由(1)得：(n=1到∞)∑np(1-p)^(n-1)=1/p
(n=1到∞)∑n(1-p)^n=(1-p)/p²
两边对p求导,得：
-(n=1到∞)∑n²(1-p)^(n-1)=-1/p²-2(1-p)/p³
(n=1到∞)∑n²p(1-p)^(n-1)=1/p+2(1-p)/p²=(2-p)/p²
D(Ni)=E((Ni)²)-E²(Ni)=(2-p)/p²-1/p²=(1-p)/p²
6.A1比A2先成功的概率是多少
P(N1